DOI: 10.1051/jp2:1991169
J. Phys. II France 1 (1991) 289-309

Stability of permeative flows in 1 dimensionally ordered systems

J. Prost¹, Y. Pomeau² and E. Guyon<sup>3

1</sup>  Laboratoire de Physico-Chimie Théorique (URA 1382), EPSCI, 10 rue Vauquelin, F-75231 Paris Cedex 05, France
²  Laboratoire de Physique Statistique (URA 857), ENS, 24 rue Lhomond, F-75231 Paris Cedex 05, France
³  Physique de la Matière Hétérogène (URA 857), ESPCI, 10 rue Vauquelin, F-75231 Paris Cedex 05, France

(Received 28 December 1989, revised 6 June 1990, accepted 5 December 1990)

Abstract
Layered structures are met in dissipative systems, such as Rayleigh Bénard rolls, as well as in liquid crystalline phases (smectics and cholesterics). We present here a general description, in the framework of phase dynamics, of the stability of these structures when submitted to an external force field (flow, electric field) acting perpendicular to the roll axis for various boundary conditions. The one-dimensional equilibrium solution with fixed boundary conditions leads to an effect, discovered experimentally by Pocheau and Croquette on Rayleigh-Bérnard rolls in the presence of a transverse flow, and involving the coexistence of compressed and dilated rolls; this effect has a known counterpart in cholesterics. Using the same boundary conditions, we generalize the well known undulation instability obtained under a dilative stress to the case of the action of a transverse force both from the point of view of linear stability and in the highly nonlinear limit. The possibility of observing fractal structures is indicated. For mixed boundary conditions, it is possible to have a sustained time dependent behavior involving the nucleation of new layers as also observed in the above mentioned experiments.

Résumé
On rencontre des structures en couches dans des systèmes dissipatifs tels que les rouleaux convectifs de Rayleigh-Bénard et dans les cristaux liquides (smectiques et cholestériques). Nous présentons ici une description générale de la stabilité de ces structures dans le cadre du formalisme de la diffusion de phase, lorsqu'elles sont soumises à un champ de force extérieur (écoulement, champ électrique) agissant à angle droit de la direction des rouleaux, en fonction des conditions aux limites. La solution unidimensionnelle d'équilibre avec des conditions aux limites rigides pour la phase conduit à un effet découvert par Pocheau et Croquette (P.C.) dans la convection de R.B. et mettant en jeu la coexistence de zones dilatée et comprimée. Cet effet a un analogue dans les cholestériques. Avec les mêmes conditions aux limites, nous généralisons l'instabilité bien connue d'ondulation, obtenue dans les smectiques sous l'effet d'une dilatation, au cas d'une force transverse à la fois du point de vue de la stabilité linéaire et dans le régime hautement non linéaire. Nous suggérons aussi la possiblité d'obtenir des structures fractales. Pour des conditions aux limites mixtes, on prévoit l'existence de régimes dépendant du temps et mettant en jeu la nucléation de nouvelles couches ainsi que cela a aussi été observé dans les expériences de P.C.

© Les Editions de Physique 1991