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Numéro
J. Phys. II France
Volume 6, Numéro 5, May 1996
Page(s) 797 - 816
DOI https://doi.org/10.1051/jp2:1996211
DOI: 10.1051/jp2:1996211
J. Phys. II France 6 (1996) 797-816

Possible Statistics of Scale Invariant Systems

B. Dubrulle1, 2 and F. Graner3

1  Service d'Astrophysique CNRS, UPR 182, CEA/DSM/DAPNIA, CE Saclay, 91191 Gif sur Yvette, France
2  Observatoire Midi-Pyrénées CNRS, URA 285, 14 avenue Belin, 31400 Toulouse, France
3  Laboratoire de Spectrométrie Physique CNRS, URA 8, Université Joseph Fourier, BP 87, 38402 Saint-Martin d'Hères Cedex, France

(Received 28 April 1995, revised 11 January 1996, accepted 1 February 1996)

Abstract
A relativity postulate states the equivalence of rationalized systems of units, constructed as power laws of the scale $\ell$. In a scale invariant system, described by a random physical field $\phi$, this relativity selects the set of similarity transformations coupling $\ell$ and $\phi$. Acceptable transformations are classified into six possible groups, according to two dimensionless parameters: an exponent C characteristic of the physical system, and $\Lambda$ describing the small scale / large scale symmetry breaking. Symmetry severely constrains the successive moments of $\phi$, and hence the shape of its probability distribution. For instance, the Newtonian case $C/\Lambda\to\infty$ corresponds to self-similar statistics, the ultra-relativistic case $C/\Lambda\to 0$ to deterministic fields, and the case $\Lambda = 1$ to a log-Poisson statistics. These cases are applied to hydrodynamical turbulence in the companion paper.

Résumé
Un postulat de relativité établit l'équivalence des systèmes d'unités rationalisés, qui sont construits comme des lois de puissance de l'échelle $\ell$. Dans un système invariant d'échelle, décrit par un champ physique aléatoire $\phi$, cette relativité sélectionne l'ensemble des transformations de similarité qui couple $\ell$ et $\phi$. Les transformations acceptables sont classées en six groupes possibles par deux paramètres sans dimension: un exposant C caractéristique du système physique, et $\Lambda$ qui décrit la brisure de symétrie entre petites et grandes échelles. La symétrie contraint fortement les moments successifs de $\phi$, et donc la forme de sa distribution de probabilité. En particulier, le cas newtonien $C/\Lambda\to\infty$ corresppond à une statistique self-similaire, le cas ultra-relativiste $C/\Lambda\to 0$ à un champ déterministe, et le cas $\Lambda = 1$ à une statistique log-Poissonnienne. Ces cas sont appliqués à la turbulence hydrodynamique dans l'article joint.



© Les Editions de Physique 1996